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Beweise

In der vergleichenden Mathematik haben Beweise eine andere Bedeutung als in der herkömmlichen Mathematik.
Die zentralen Thesen sind:
1) Es gibt verschiedene sinnvolle Wege, mathematische Lehrsätze zu verstehen und zu begründen.
2) Nicht ein einziger Beweis, sondern der Vergleich der unterschiedlichen Erklärungen erzeugt ein klares Verständnis.
3) Ein Beweis enthält meistens Verallgemeinerungen von Alltagserfahrungen. Das Bewiesene ist nicht wahrer als konkrete Erfahrungen.
4) Ein Beweis ist nicht unumstößlich. Hat man genügend Erfahrung mit Beweisen, kann man einem Beweis aber vertrauen.
5) Ein Satz ist nicht deshalb richtig, weil er bewiesen ist. Tatsächlich gilt: Nur zu einem richtigen Satz kann man auch einen Beweis finden.

Beweise der Divisionsregel

"Eine Zahl wird durch einen Bruch geteilt, indem man mit dem Kehrwert multipliziert."Das ist die Divisionsregel.
Die Frage nach dem Warum beantworten die meisten Menschen mit: "Weil der Lehrer das gesagt hat."
Laut Lehrplan ist es aber nicht das Ziel schulischer Bildung, nachsprechen zu können, was der Lehrer sagt. Vielmehr ist eigenständiges Denken gefragt. Dieses wird aber durch ein hartnäckiges Vorurteil behindert, nämlich: man müsse eine Formel oder einen Satz (wie z.B. die Divisionsregel) nur beweisen und dann muß allen Menschen alles klar sein. Beispiele dafür, was den Schülerinnen und Schülern alles nicht klar sein kann und was man alles nicht beweisen kann, sollen im folgenden gezeigt werden.

Die erste Schwierigkeit: Teilen durch einen Bruch

Man kann etwas in 2 Teile teilen oder in 3 oder in 4, aber kaum etwas in Teile teilen oder in Teile oder in Teile usw. Das heißt: Das, was die meisten Menschen unter "teilen" verstehen, funktioniert mit Brüchen nicht. An dieser Stelle wäre es eine absolut logische Konsequenz, das Teilen durch Brüche einfach zu lassen (außerdem sind Brüche ja schon Teilungen. Warum sollte man dadurch nochmal teilen?) - was nicht unbedingt das Ende der Mathematik sein muß. Man kann auch ganz ohne Brüche auskommen. Bevor man rechnet, könnte man festlegen, was die kleinste sinnvolle Einheit ist und dann in ganzen Vielfachen dieser Einheit rechnen. Die meisten Computer auf der Welt rechnen im Prinzip genauso. Auch wir Menschen kennen diese Rechenweise aus dem Alltag: Wenn wir etwas nachmessen, überlegen wir uns vorher, ob wir z.B. auf den Millimeter oder auf den Zentimeter genau messen wollen. Rechnen wir mit Dezimalzahlen, legen wir vorher fest, auf die wievielte Stelle nach dem Komma wir runden möchten.
Es gibt noch viele weitere Möglichkeiten, ohne Brüche auszukommen. Das führt zu der Konsequenz: Es gibt keinen Grund, warum wir durch Brüche teilen müssen.
Mit dieser Einstellung sind wir von möglichen Beweisen der Divisionsregel meilenweit entfernt.

Die Motivation: Dividieren aus reiner Willkür

Uns kann niemand daran hindern, völlig ohne Grund und aus reiner Willkür zu fragen: Was ist ein sinnvolles Ergebnis von ? Ist oder ist oder ist ? Es gibt viele Vorschläge für sinnvolle Ergebnisse und viele Sichtweisen, was unter dem Teilen durch einen Bruch zu verstehen ist, die nicht zur Divisionsregel führen. Einige der Vorschläge führen zu einer ganz neuen Mathematik. Rein theoretisch könnte man die verschiedenen Möglichkeiten durchdenken und dann die verschiedenen Arten von Mathematik miteinander vergleichen. Damit hätte man auch gleich die sicherlich reizvolle Aufgabe, Kriterien für die "beste" Mathematik zu entwickeln. Das würde aber diesen Rahmen und auch den der Schülerinnen und Schüler sprengen...

Ein Weg für die Divisionsregel

Wir könnten uns fragen: Da sich die Divisionsregel durchgesetzt hat, wäre es interessant zu wissen, welche Auffassungen des Teilens durch Brüche zur Divisionsregel passen? Es ist wohl auch klar, daß wir mit dieser Fragestellung keinen Beweis finden, der einen logischen Zwang ausdrückt, den man einfach anerkennen muß. Wir basteln uns das Verständnis ja so zurecht, daß die Divisionsregel gilt.

Division als Umkehrung der Multiplikation

Man könnte sagen: , weil ist. Man kennt das von den natürlichen Zahlen: Es gilt: und auch ; oder: es gilt und auch . Das "weil" haben wir uns allerdings ausgedacht. Selbst wenn wäre, weil ist, heißt das nicht, daß dies auch für Brüche gilt, denn wir haben bisher nicht gezeigt, warum das sinnvoll sein könnte. Die Divisionsregel "ergibt" sich also nicht aus der Bruchmultiplikation. Mit dem definierten "weil" kann man aber die Divisionsregel beweisen: , weil ist. Die meisten Menschen wünschen sich aber ein Teilen, das nicht einfach eine formale Umgruppierung der Multiplikation ist, sondern das auch tatsächlich etwas bedeutet. Die obige Auffassung sagt aber nichts darüber aus, was es konkret bedeutet, durch Brüche zu teilen.

Konkretes Teilen

Hier kommt eine konkretere Auffassung des Teilens durch Brüche, die zur Divisionsregel passt: kann bedeuten: Wie oft geht 2 in 8 ? Entsprechend kann bedeuten: Wie oft geht in 2 ? Konkret vorstellen kann man sich das z.B. durch Schritte: Bei einer Schrittlänge von Meter braucht man 6 Schritte, um 2 Meter zurückzulegen. Man kann das auch an der Zahlengeraden sehen, die man als Referenzmodell benutzen könnte.
Gilt mit dieser Auffassung die Divisionsregel? Weil sechsmal in 2 paßt, ist und es gilt . Aber gilt das für alle Brüche? Nun, wir können schlecht alle Brüche durchrechnen, weil es davon zu viele gibt. Es reicht aber auch nicht, nur ein paar Beispiele zu betrachten. Führt man die Folge , , , ..., für deren Folgenglieder die Divisionsregel gilt, weiter fort, kommt man nie zu diesem Beispiel: . Es gibt keine Methode, mit der man herausfinden könnte, ob man beim durchrechnen von Beispielen solche Beispiele vergessen hat, für die eine Regel nicht gilt. (Variablen und Axiomatik helfen hier nicht, denn die Axiome für reelle Zahlen z.B. sind ja so geschrieben worden, daß die bekannten Rechenregeln gelten.)
Gilt denn (mit dieser Auffassung des Teilens durch Brüche) die Divisionsregel für alle Brüche? Was machen wir mit ? Wie oft geht in ? Gar nicht. Wir brauchen eine andere Auffassung des Teilens durch Brüche. Hier ist eine:

Konkretes Aufteilen

Man kann etwas aufteilen, z.B. eine Schippe Sand auf einer bestimmten Fläche verteilen. Will man die gleiche Menge Sand auf einem drittel der Fläche verteilen, ist die Sandschicht dreimal so hoch. Das kann auch Teilen durch bedeuten. Und das klappt übrigens auch mit einer halben oder einer viertel Schippe Sand. Man kann einen Liter Wasser auf 6 Gefäße mit einem Fassungsvermögen von -Liter verteilen. Das ist auch eine sinnvolle Interpretation von z.B. .
Eine ganze Pizza liege auf einem Teller. Teilt man sie auf die Hälfte des Tellers auf, liegt sie doppelt. In diesem Sinne kann sein.
Können wir denn mit dieser Auffassung die Divisionsregel beweisen? Wir können es ja mit Sand ausprobieren und uns überlegen, ob sich mit anderen Sandmengen etwas ändern könnte. Da wird einem der gesunde Menschenverstand wohl sagen, es könne sich prinzipiell nichts ändern - außer wenn man mit negativen Brüchen rechnet. Aber auch mit diesen Zahlen könnte man eine Interpretation finden. Das wäre allerdings die andere Richtung der Schlußweise: Man geht davon aus, die Divisionsregel gelte und sucht dann Beispiele dafür. Mit dieser Einstellung können wir aber nicht die Divisionsregel beweisen, zumindest nicht im Sinne einer Unwiderlegbarkeit. Höchstens können wir zeigen, daß es genügend gute und unterschiedliche Beispiele gibt, auf die die Divisionsregel anwendbar ist. Das gilt allgemein für mathematische Sätze: Es reicht nicht, daß sie richtig sind, sie müssen auch in einem genügend großen Bereich funktionieren. (Z.B.: Es gilt: . Überrascht? Das gilt für die Fälle und . Um vernünftigerweise von einem Satz zu sprechen ist das aber zu wenig.) Ein Satz muß außerdem nicht nur einen genügend großen Gültigkeitsbereich haben, sondern er muß auch in einen effektiven Aufbau der Mathematik hineinpassen.

Kein Beweis - aber lebhafte Überzeugungen

Kann man nun beweisen, daß nach der Aufteilungs-Auffassung die Divisionsregel wenigstens für alle positiven Brüche gilt? Beweisen nicht, aber mit genügender Aufteilungs-Erfahrung und dem vernünftigen Erkennen von Regelmäßigkeiten und Prinzipien können wir uns auf die Divisionsregel verlassen.
Noch überzeugter können wir sein, wenn wir Erfahrungen mit den Prozessen haben, die zu Überzeugungen führen.
Der Blick wird zusätzlich geschärft, wenn wir aus den Situationen lernen, in denen uns etwas völlig logisch vorkam, was hinterher aber wieder verworfen wurde. Lernt man Mathematik, kommt so etwas ziemlich häufig vor.
Vergleicht man noch zusätzlich die verschiedenen Auffassungen des Teilens durch Brüche miteinander und zieht die unterschiedlichen Gültigkeitsbereiche in betracht, entsteht ein sehr klares Bild. Irgendwann bekommt man das Gefühl, daß mit neuen Betrachtungen eigentlich nichts neues mehr hinzukommt (Exhaustionsprinzip). Dann hat man eine wirklich lebhafte Überzeugung.

Ausblick

Hier wird nicht behauptet, die Mathematik sei falsch. Aber die Fixierung auf formale Beweise und der Unfehlbarkeitsanspruch behindern das Denken und - für viele Menschen - den Spaß daran. Die Mathematik ist eine lebendige Wissenschaft, sie ändert sich, sie findet mit­ten im Leben statt, sie macht Spaß und besteht aus mehr als unwiderlegbaren Sätzen.
Dieses Beweiskonzept verbindet die unterschiedlichen Denkweisen der Schülerinnnen und Schüler. Die eigenen Ideen sind wichtig für die Begründung der Divisionsregel (oder anderer Lehrsätze), weil nur aus verschiedenen Blickwinkeln ein klares Bild entsteht. In diesem Bild setzt jeder Mensch die Schwerpunkte anders und so kann jeder aus dem Unterricht eine individuell stimmige Begründung mitnehmen.