Vergleichende Mathematik am Beispiel negativer Zahlen

Mathematische Witze finden nicht alle Menschen lustig. Hier ist einer:
Zwei Mathematiker beobachten die Tür eines Hörsaals. Sie sehen, dass sechs Studenten herauskommen und fünf hineingehen. Da sagt der eine Mathematiker zum anderen: "Wenn jetzt noch ein Student hineingeht, ist der Saal leer."

Die negativen Zahlen entstehen, wenn man den Zahlenstrahl, auf dem sich die natürlichen Zahlen (0, 1, 2, 3, usw.) befinden, über die 0 hinaus verlängert und von rechts nach links die Zahlen –1, –2, –3, –4 usw. einträgt, z. B. so:

Erklärt man negative Zahlen, kann man bemerken, dass Menschen diese Zahlen sehr unterschiedlich empfinden.

Willkürliche Zahlen

Manche haben den Eindruck, diese Zahlen könne es nicht geben, weil man nicht etwas zählen kann, was weniger ist als nichts. Richtig daran ist, dass man negative Zahlen tatsächlich zum Zählen nicht so verwenden kann wie natürliche Zahlen. Vermutlich hat ja noch niemand minus sieben Menschen oder minus drei Töpfe gesehen. Häufig kann man von Schülerinnen und Schülern den Satz hören: "Wenn man mit diesen Dingern nicht zählen kann, dann können es doch auch keine Zahlen sein." Sind es also Zahlen?

Zumindest darf man sie - wie oben beschrieben - konstruieren und Dinge damit bezeichnen, wie z.B. Temperaturen unter dem Gefrierpunkt, Kellergeschosse eines Gebäudes oder Schulden auf einem Konto - welche man auch zählen kann, nur eben in der anderen Richtung.

Diese Konstruktion hat etwas Willkürliches, was so gar nicht zur Mathematik zu passen scheint, denn das Ergebnis von 5 + 8 oder von 17 – 12 kann man sich ja auch nicht aussuchen. Aber auch das ist Mathematik: Jemand denkt sich etwas aus - vielleicht eine Definition oder eine Formel - und wenn das gut funktioniert, steht es hinterher in den Schulbüchern. Man kann Mathematik auch als Werkzeug begreifen, welches man für verschiedene Zwecke benutzen kann.

Immer wieder kann man an dieser Stelle die erstaunte Frage von Schülerinnen und Schülern hören: "Heißt das, dass auch ich Mathematik erfinden darf?" Plötzlich eröffnen sich ihnen buchstäblich ungeahnte Möglichkeiten. Manche gehen so weit zu sagen: "Das mache ich später auch: Ich erfinde Mathematik und alle anderen müssen das dann lernen."

Neue Zahlen

Es fördert das Verständnis, wenn man sich ein paar Möglichkeiten, die natürlichen Zahlen zu erweitern, ausdenkt. So, wie Schülerinnen und Schüler ihre eigenen Bilder malen und Geschichten schreiben, können sie auch ihre eigenen Zahlen erfinden. Das klingt vielleicht ungewöhnlich, da viele Menschen der Meinung sind, man müsse erst Mathematik studiert haben, um sich etwas Mathematisches ausdenken zu können. Das ist aber nicht so. Man muss ja auch nicht Kunst studiert haben, um ein Bild malen zu dürfen.

Jeder Zahlen-Vorschlag wird gewisse Vor- und Nachteile haben. Schülerinnen und Schüler sind stolz, wenn sie feststellen, dass die von ihnen erfundenen Zahlen durchaus mit den negativen Zahlen mithalten können, ja sogar in manchen Punkten besser sind. Die Vorschläge reichen von geometrischen Lösungen (mehrere Zahlenstrahle nebeneinander, Anordnung im Kreis, etc.) über neue Rechenzeichen und mehrdimensionale Zahlen bis zu ganz neuen Objekten.

Notwendige Zahlen

Manche Schülerinnen und Schüler entdecken eine logische Notwendigkeit für negative Zahlen. Sobald man auf einem Weg steht, gibt es mindestens zwei Richtungen: eine nach vorne und eine nach hinten. Man kann zwei Schritte nach vorne gehen und fünf nach hinten und dann sagen: "Ich bin plus zwei Schritte und minus fünf Schritte gegangen." Das Konzept der negativen Zahlen "ergibt" sich dann direkt aus der Tatsache, einen Ausgangspunkt und damit zwei Richtungen zu haben. Das ist nicht willkürlich.

Anwendbare Zahlen

Es gibt zählbare und nicht zählbare Dinge. Liebschaften und Sonnentage kann man zählen, nicht aber Liebe und Sonnenschein. Mit den negativen Zahlen kann man nicht alles Zählbare - wie z.B. Bäume und Zeitungen - zählen. Hingegen werden Temperaturen unterhalb des Gefrierpunktes im Wetterbericht immer mit negativen Zahlen bezeichnet. Manchmal wäre es sinnvoll, negative Zahlen zu benutzen, trotzdem wird es nicht gemacht. In unserer Zeitrechnung gibt es einen Ausgangspunkt und genau zwei Richtungen: vor Christus und nach Christus, aber man spricht nicht von dem Jahr "–341", sondern von dem Jahr "341 vor Christus". In ähnlicher Weise spricht man von 4500 Metern unter dem Meeresspiegel und nicht von einer Höhe von – 4500 Metern.

Demokratische Zahlen

Statt von positiven und negativen Zahlen könnte man auch von rechten und linken Zahlen sprechen, oder von den Zahlen "vor Null" und "nach Null". Es gibt noch viele weitere Möglichkeiten.

Der Erfolg der Mathematik besteht auch deshalb, weil viele Menschen sich auf etwas geeinigt haben, in diesem Fall die Zahlen rechts der Null als positive und die Zahlen links der Null als negative Zahlen zu bezeichnen. War die Einigung demokratisch? Es ist zwar keine öffentliche Abstimmung durchgeführt worden, aber eine mathematische Instanz, die vorschreibt, auf was man sich zu einigen hat, gibt es auch nicht. Diese Lage ist vergleichbar mit der Frage, ob man - wie in Deutschland - auf der rechten Seite der Straße fahren muss oder - wie in Großbritannien - auf der linken Seite. Wofür sich wer entscheidet, ist eigentlich egal, wichtig ist nur, dass sich alle Verkehrsteilnehmer an dieselbe Vorschrift halten. Ebenso kann man mit anderen Menschen nur dann über Zahlen reden, wenn alle dieselben Begriffe benutzen.

Welche Ideen und Bezeichnungen in der Mathematik benutzt werden und welche nicht, hängt von vielen Faktoren ab, z.B. auch davon, was mathematisch gerade in Mode ist. Die Mengenlehre als Lehrinhalt der Grundschulmathematik kam schnell und verschwand genauso schnell wieder.

Abstrakte Zahlen

Dass negative Zahlen nicht überall anwendbar sind, kann man auch als angenehm empfinden - wenn man nämlich zu den Menschen gehört, die das Abstrakte mögen. Dann existieren die negativen Zahlen einfach deshalb, weil sie definiert worden sind und man sie infolge dessen denken kann. Das kann man so verständlich finden, dass jede weitere Erklärung oder gar Anwendung überflüssig erscheint. Diese Auffassung findet man häufig bei Mathematikern.

Man kann echte Glücksgefühle erleben, wenn die vielfältigen rationalen Gedankengebilde miteinander logisch harmonieren und man kann ergriffen sein, wenn sich durch eine neue Definition eine weitere Dimension der mathematischen Welt auftut, von der man vorher nicht zu träumen gewagt hat. Die schnöde Realität würde dabei nur stören.

Auch bei manchen Schülerinnen und Schülern ist diese Faszination schon verwurzelt.

Unlogische Zahlen

Wenn man 100 € hat, kann man nicht 200 € ausgeben. Dieser logische Gedankengang gilt mit den negativen Zahlen nicht mehr - man kann ja Schulden machen. Es ist für Lernende manchmal verstörend, dass völlig logische Zusammenhänge plötzlich nicht mehr gelten. Wie sollen sie sich dann beim nächsten Mal auf ihre Logik verlassen? In jedem neuen Lehrstoff sind verschiedene logische und sich teilweise widersprechende Gedankengänge zu finden. Indem man alles Neue von verschiedenen Seiten betrachtet, hat man die Möglichkeit, die Sichtweisen gegeneinander abzuwägen und sich für die vernünftigste Alternative zu entscheiden. Allerdings muss man sich dann auch von der Hoffnung verabschieden, es könne einen Gedankengang geben, der so logisch ist, dass er allein als Erklärung oder als Beweis ausreicht.

(Un-)Passende Zahlen

Passen die negativen Zahlen zu den bis dahin gelernten natürlichen Zahlen? Bisher war Minus gleichbedeutend mit wegnehmen. Das geht jetzt nicht mehr, weil man von fünf Dingen nicht acht wegnehmen kann. Man kann aber 5 – 8 rechnen und als Ergebnis –3 erhalten.

Was innerhalb der natürlichen Zahlen Null bedeutet, ist relativ einfach: einfach nichts. Die negativen Zahlen machen die Null viel komplizierter. Die verschiedenen Temperaturskalen Celsius, Fahrenheit und Kelvin bezeichnen mit "Null Grad" jeweils andere Kältezustände. Die Null ist in der Anwendung also eher ein Ausgangspunkt, den man je nach Bedarf festsetzen kann.

Vielleicht passen die verschiedenen Zahlen nicht so zusammen, wie einige Menschen es gerne hätten. Aber die natürlichen und negativen Zahlen widersprechen sich auch nicht - zumindest ist bisher kein Widerspruch aufgetaucht. Ob das jemals passieren wird, wissen wir nicht.

... und das Ergebnis

Jeder Mensch findet wohl unter den genannten Alternativen manche, die er als passend, und manche, die er als nicht so passend empfindet. Es gibt keine für alle verbindliche, "richtige" Version. Zusammen mit den Erfahrungen, die ein Mensch mit den negativen Zahlen sammelt, entsteht ein indiviuelles, tragfähiges Verständnis dieser mathematischen Objekte.

Es kann als schwierig empfunden werden, mehrere und sogar sich (scheinbar) widersprechende Denkweisen zu betrachten. Diese Denkweisen werden aber von Schülerinnen und Schülern vorgebracht. Also sind sie es wert, beachtet zu werden. Wie in allen anderen Schulfächern und Wissenschaften gibt es auch in der Mathematik nicht die einzige, "selig-machende" Wahrheit.

Für Schülerinnen und Schüler ist es meist ein aufregender Prozess, Alternativen zu finden. Um zu klären, was Zahlen bedeuten, ist jedes Mitglied einer Lerngruppe aufgefordert, die eigenen Gedanken und Empfindungen mit einzubringen. Diese sind unersetzbar. Das Verständnis für Zahlen wird in jeder Gruppe einzigartig sein.

Es gibt noch viele weitere Fragen, die man hier erläutern könnte:
Warum gibt es überhaupt negative Zahlen? Gibt es einen Grund, warum negative Zahlen existieren müssen? Wenn es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, wie viele Zahlen sind dann die natürlichen und die negativen zusammen? Wie ordnet man die negativen Zahlen? Ist –3 größer oder kleiner als –5 ? Wie rechnet man mit diesen Zahlen? Was ist (–2)•(–1) ? Wie kann man negative Zahlen darstellen?

Alle Fragen kann man aber sowieso nicht aufschreiben, weil Schülerinnen und Schüler ja immer wieder neue Ideen produzieren.